Per giocare a poker, quattro persone, hanno bisogno di un mazzo di 32 carte.
Le 32 carte, hanno otto valori (7, 8, 9, 10, J, Q, K, A), nei quattro semi (quadri, cuori, picche, fiori).
Ad ogni giocatore vengono distribuite 5 carte.
Coppia (2 carte dello stesso valore)
Doppia coppia (2 coppie)
Tris (3 carte dello stesso valore)
Scala semplice(5 carte di seme "diverso", in ordine)
Full (un Tris e una Coppia)
Colore (5 carte dello stesso seme, non in ordine)
Poker (4 carte dello stesso valore)
Scala reale (5 carte dello stesso seme, in ordine )
Calcoliamo, la probabilità di realizzare, le suddette combinazioni, usando la definizione classica di probabilità
P = (N° casi favorevoli ) / (N° casi possibili).
Il numero dei casi possibili, sono le combinazioni delle 32 carte a gruppi di 5 :
C32,5 =(32 x 31 x 30 x 29 x 28 )/5! = 201376.
Primo caso:Coppia (2 carte dello stesso valore).
Esempio
La prima carta può essere scelta in 32 modi, la seconda carta in 3 modi
distinti. Poiché l'ordine non è importante, le possibili combinazioni
saranno (32 x 3) / 2= 48.
La terza carta deve essere scelta fra le rimanenti 7 x 4 = 28 (diverse da quelle della coppia),
la quarta carta deve essere scelta fra le rimanenti 6 x 4 = 24 (diverse da quelle della coppia e dalla terza),
la quinta carta deve essere scelta fra le rimanenti 5 x 4 = 20 (diverse da quelle della coppia, dalla terza e dalla quarta)
Le possibili combinazioni delle tre carte, poiché l'ordine non conta, saranno: (28 x 24 x 20 ) / 3!=2240
Il numero delle possibili coppie è dato da: 48 x 2240 =107520.
La probabilità di fare una coppia è:
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) =107520/201376 =480/899 = 53% circa
Secondo caso: Doppia Coppia (2 coppie).
Esempio
La prima carta può essere scelta in 32 modi, la seconda carta in 3 modi distinti.
La terza carta deve essere scelta fra le rimanenti 7 x 4 = 28 (diverse da quelle della coppia),
La
quarta carta deve essere scelta in tre modi distinti, poiché anche
l'ordine delle due coppie non conta il numero di combinazioni che danno
due coppie è: [(32 x 3 /2) x (28 x 3/2 )] /2 = 1008
La quinta carta deve essere scelta fra le rimanenti 6 x 4 =24 (diverse da quelle delle coppie).
Il numero di combinazioni che danno una doppia coppia è: 1008 x 24 =24192.
La probabilità di avere una doppia coppia è:
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) =24192/201376 =108/899 circa 12%
Terzo caso: Tris (3 carte dello stesso valore).
Esempio
La prima carta può essere scelta in 32 modi, la seconda carta in 3 modi distinti, la terza in 2 modi.
Poiché l'ordine non conta i possibili tris, con tre carte sono ( 32 x 3 x 2) / 3! =32.
La quarta carta deve essere scelta fra le rimanenti 7 x 4 = 28 (diverse da quelle del tris).
La quinta carta deve essere scelta fra le rimanenti 6 x 4 = 24 (diverse da quelle del tris e dalla quarta).
Le possibili combinazioni contenenti un tris sono [32 x (28 x 24) /2]=10752
La probabilità di fare un tris è
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) =10752/201376 = 48/899 circa 5,3%
Quarto caso: Full (un Tris e una Coppia).
Esempio
La prima carta può essere scelta in 32 modi, la seconda carta in 3 modi distinti, la terza in 2 modi.
Poiché l'ordine non conta, i possibili tris con tre carte sono: ( 32 x 3 x 2) / 3! =32.
La quarta carta deve essere scelta fra le rimanenti 7 x 4 = 28 (diverse da quelle del tris).
La quinta carta deve essere scelta in 3 modi distinti. Quindi i full sono 32 x (28 x 3 )/2 = 1344
La probabilità di fare un full è
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) =1344/201376 =6/899 circa 0,67%
Quinto caso: Poker (4 carte dello stesso valore).
Esempio
La prima carta può essere scelta in 32 modi, la seconda carta in 3 modi distinti, la terza in 2 modi, la quarta in un solo modo.
Poiché l'ordine non conta i possibili poker con quattro carte sono: ( 32 x 3 x 2 x 1) / 4! =8.
La quinta carta può essere scelta in 7 x 4 = 28 modi distinti.
Quindi le possibili combinazioni sono 8 x 28 =224.
La probabilità di fare un poker è :
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) = 224/201376 = 1/899 circa 0,11%
Sesto caso: Scala Reale (5 carte dello stesso seme, in ordine).
Esempio
La prima carta può essere scelta in 5 x 4 = 20 modi, le altre carte in un solo modo.
La probabilità di fare un scala reale è :
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) =20/201376 =5/50344 = 0,01%.
Settimo caso: Scala (5 carte di seme "diverso", in ordine).
Esempio (scala minima)
Esempio (scala massima)
La
prima carta può essere scelta in 5 x 4 =20 modi, la seconda carta in 4
modi distinti, la terza in 4, la quarta in 4 e la quinta in 4.
Le possibili combinazioni sono: 20 x 4 x 4 x 4 x 4 = 5120
Da questo numero dobbiamo togliere le 20 scale reali. Quindi, le possibili combinazioni sono 5120-20 = 5100
La probabilità di fare un scala è :
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) =5100/201376 =1275/50344 circa 2,5%
Ottavo caso: Colore (5 carte dello stesso seme, non in ordine).
Esempio
La
prima carta può essere scelta in 8 x 4 =32 modi, la seconda carta in 7
modi distinti, la terza in 6, la quarta in 5 e la quinta in 4.
Poiché
l'ordine non conta, le possibili combinazioni sono (32 x 7 x 6 x 5 x 4)
/5! = 224, togliendo le 20 scale reali si ottiene 224-20 = 204.
La probabilità di fare un colore è :
P = (N°casi favorevoli ) / (N° casi possibili) =204/201376 =51/50344 circa 0,10%
In conclusione
| punteggio |
probabilità |
| coppia |
53% |
| doppia coppia |
12% |
| tris |
5,3% |
| scala |
2,5% |
| full |
0,67% |
| colore |
0,10% |
| poker |
0,11% |
| scala reale |
0,01% |
